Question

（2009•闸北区二模）如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（Ⅰ）求四棱锥O-ABCD的体积；
（Ⅱ）求异面直线OB与MD所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，故可求得，正方形ABCD的面积S=4，高OA=2，所以可求棱锥O-ABCD的体积
（Ⅱ）设线段AC的中点为E，连接ME，则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角（或其补角），利用△DEM为直角三角形可求．

解答：解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形ABCD的面积S=4，
所以，求棱锥O-ABCD的体积V=

1

3

×4×2=

8

3

（Ⅱ）设线段AC的中点为E，连接ME，则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角（或其补角）
由已知，可得DE=

2

，EM=

3

，MD=

5

，
∵(

2

)2+(

3

)2=(

5

)2
∴△DEM为直角三角形
∴tan∠EMD=

DE

EM

=

6

3

，
∴∠EMD=arctan

6

3

．
所以，异面直线OC与MD所成角的大小arctan

6

3

．

点评：本题的考点是异面直线及其所成的角，主要考查异面直线OC与MD所成的角，考查棱锥的体积，关键是找出异面直线OC与MD所成的角