Question

若函数f（x）=

1-(x-2008)2

+2009，则对任意的x₁，x₂满足2008＜x₁＜x₂＜2009，则有（　　）

A．x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）

B．x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）

C．x₁f（x₂）=x₂f（x₁）

D．x₁f（x₁）=x₂f（x₂）

Answer 1

分析：式子变形可得 （x-2008）²+（y-2009）²=1，且 y≥2009，表示一个半圆如图，根据OA的斜率大于OB的斜率得

y1-0

x1-0

＞

y2-0

x2-0

，即 x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）．

解答：解：令函数f（x）=y=

1-(x-2008)2

+2009，变形可得 （x-2008）²+（y-2009）²=1，且 y≥2009．
表示以C（2008，2009）为圆心，以1为半径的半圆．如图所示：
设半圆上点A的横坐标为x₁，纵坐标为y₁=f（x₁）．半圆上点B的横坐标为x₂，纵坐标为y₂=f（x₂），
则有OA的斜率大于OB的斜率，即

y1-0

x1-0

＞

y2-0

x2-0

，再由2008＜x₁＜x₂＜2009，可得 x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）．
故选：B．

点评：本题主要考查圆的标准方程，直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．