Question

已知幂函数f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

（p∈Z）在（0，+∞）上是增函数，且在其定义域内是偶函数．
（1）求p的值，并写出相应的函数f（x）．
（2）对于（1）中的f（x），是否存在正实数m，使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在区间[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为幂函数f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

在（0，+∞）上是增函数，所以-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，解得-1＜p＜3由幂函数在其定义域内是偶函数且p∈Z，所以p=1，由此能求出函数f（x）．
（2）由f（x）=x²，知g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1=-x²+（2m-1）x+1，故g（-1）=-1-2m+1+1=1-2m，g（1）=-1+2m-1=2m-1，由g（x）在区间[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，知1-2m=-1，或2m-1=-1．由此能求出正实数m．

解答：解：（1）因为幂函数f（x）=x-

1

2

p2+p+

3

2

在（0，+∞）上是增函数，
所以-

1

2

p²+p+

3

2

＞0，解得-1＜p＜3．（2分）
∵P是整数，∴P的值为0，1，2，
又幂函数在其定义域内是偶函数，所以p=1．（4分）
∴函数f（x）=x²．（6分）
（2）存在正实数m，使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在区间[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]．
∵f（x）=x²，
∴g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1=-x²+（2m-1）x+1，
∴g（-1）=-1-2m+1+1=1-2m，
g（1）=-1+2m-1=2m-1，
∵g（x）在区间[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，
∴1-2m=-1，或2m-1=-1．
当1-2m=-1时，m=1，g（x）=-x²+x+1=-（x-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

，
∴m=1时，g（x）在区间[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，成立；
当2m-1=-1时，m=0，g（x）=-x²-x+1=-（x+

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

，
∴m=0时，g（x）在区间[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]，成立；
综上所述，存在是存在正实数m=1，
使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在区间[-1，1]上的值域是[-1，

5

4

]．（12分）

点评：本题考查幂函数的概念和性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意二次函数的性质的灵活运用．