Question

14．若f（x）=$\frac{a（{2}^{x}+1）-2}{{2}^{x}+1}$是奇函数，求：
（1）a的值；
（2）函数f（x）的值域；
（3）判断并证明f（x）单调性．

Answer 1

分析 （1）根据f（0）=0列方程解出a；（2）利用不等式的性质求出值域；（3）利用导数与函数单调性的关系判断并证明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a（{2}^{x}+1）-2}{{2}^{x}+1}$是奇函数，∴f（0）=0，即$\frac{2a-2}{2}$=0，解得a=1．
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，∵2^x＞0，∴0＜$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜2，∴-1＜1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜1．∴f（x）的值域是（-1，1）．
（3）f′（x）=$\frac{2ln2•{2}^{x}}{（{2}^{x}+1）^{2}}$，∵（2^x+1）²＞0，2^x＞0，ln2＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）是增函数．

点评 本题考查了函数奇偶性的性质，函数的值域，函数单调性的判断与证明，属于中档题．