Question

12．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角D-AB-D₁的大小为45°，DC₁与平面ABCD所成角的大小为30°，那么异面直线AD₁与DC₁所成角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{8}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{8}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，连接AB₁，可得∠B₁AD₁为异面直线AD₁与DC₁所成角，然后解直角三角形及余弦定理求得答案．

解答 解：如图，
由二面角D-AB-D₁的大小为45°，可知∠D₁AD=45°，
∴AD=AA₁，
又DC₁与平面ABCD所成角的大小为30°，
∴DC₁=2CC₁=2AA₁，$DC=\sqrt{3}C{C}_{1}=\sqrt{3}A{A}_{1}$．
连接AB₁，B₁D₁，
设AD=AA₁=a，则AB=$\sqrt{3}a$．
∴$A{D}_{1}=\sqrt{2}a$，AB₁=B₁D₁=2a．
在△AB₁D₁中，由余弦定理可得：
cos∠B₁AD₁=$\frac{4{a}^{2}+2{a}^{2}-4{a}^{2}}{2×2a×\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴异面直线AD₁与DC₁所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角，训练了余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．