Question

17．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．
（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，结合不等式的解集，利用待定系数法进行求解即可求f（x）的解析式；
（2）根据二次函数的性质进行求解．

解答 解（1）依题意可设f（x）+2x=a（x-1）（x-3）…（2分）
即a（x-1）（x-3）＞0的解集为（1，3）
∴a＜0…（3分）f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a
又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，
∴ax²-2（2a+1）+9a=0有两相等实根
∴△=4（2a+1）²-36a²=0
∴$a=-\frac{1}{5}$（a=1舍去）…（5分）
$f（x）=-\frac{1}{5}{x^2}-\frac{6}{5}x-\frac{3}{5}$…（6分）
（2）$f{（x）_{max}}=\frac{{12{a^2}-4{{（2a+1）}^2}}}{4a}$＞0…（8分）
∵a＜0
∴a²+4a+1＞0
故$a∈（-∞，-2-\sqrt{3}）∪（-2+\sqrt{3}，0）$…（10分）

点评 本题主要考查一元二次函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．