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已知函数f(x)=lnx+数学公式,其中a为常数,且a>0.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=数学公式垂直,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为数学公式,求a的值.

解:f′(x)=+=-=(x>0)(4分)
(1)因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=垂直,
所以f'(1)=-2,即1-a=-2,解得a=3.(6分)
(2)当0<a≤1时,f'(x)>0在(1,2)上恒成立,
这时f(x)在[1,2]上为增函数∴f(x)min=f(1)=a-1.
∴a-1=,a=,不合(8分)
当1<a<2时,由f'(x)=0得,x=a∈(1,2)
∵对于x∈(1,a)有f'(x)<0,f(x)在[1,a]上为减函数,
对于x∈(a,2)有f'(x)>0,f(x)在[a,2]上为增函数,
∴f(x)min=f(a)=lna.
∴lna=,a=,(11分)
当a≥2时,f'(x)<0在(1,2)上恒成立,
这时f(x)在[1,2]上为减函数,∴f(x)min=f(2)=ln2+-1,
∴ln2+-1=,a=3-2ln2,不合.
综上,a的值为.(13分)
分析:(1)先由所给函数的表达式,求导数fˊ(x),再根据导数的几何意义求出切线的斜率,最后由垂直直线的斜率关系列方程求a的值即可;
(2)对参数a进行分类,先研究f(x)在[1,2]上的单调性,利用导数求解f(x)在[1,2]上的最小值问题即可,故只要先求出函数的极值,比较极值和端点处的函数值的大小,最后确定出最小值即得a的值.
点评:本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力,考查分类讲座思想、化归与转化思想.属于基础题.
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2
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6
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6
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