【题目】已知如图:平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.
(1)求证:GH∥平面CDE;
(2)若CD=2,DB=4 ,求四棱锥F﹣ABCD的体积.
【答案】
(1)证明:∵EF∥AD,AD∥BC,∴EF∥BC且EF=AD=BC
∴四边形EFBC是平行四边形,∴H为FC的中点
又∵G是FD的中点
∴HG∥CD
∵HG平面CDE,CD平面CDE
∴GH∥平面CDE
(2)解:∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD
且FA⊥AD,∴FA⊥平面ABCD.
∵BC=6,∴FA=6
又∵CD=2,DB=4 ,CD2+DB2=BC2
∴BD⊥CD
∴SABCD=CD×BD=8
∴VF﹣ABCD= ×SABCD×FA= × ×6=16
【解析】(1)证明GH∥平面CDE,利用线面平行的判定定理,只需证明HG∥CD;(2)证明FA⊥平面ABCD,求出SABCD , 即可求得四棱锥F﹣ABCD的体积.
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【题目】如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,他们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点,设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为 .
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【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形, 底面ABCD,SA=2,M为SA的中点.
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(2)求直线AS与平面SCD所成角的正弦值;
(3)求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.
(Ⅰ)若直线PB与CD所成角的大小为,求BC的长;
(Ⅱ)求二面角B-PD-A的余弦值.
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【题目】设a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,则下列命题正确的是 . (填写所有正确命题的序号) ①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥b,aα,b⊥β,则α⊥β;
③若α∥β,a⊥α,则a⊥β;④若α⊥β,a⊥b,a⊥α,则b⊥β.
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【题目】已知函数f(x)=x3+x﹣16,
(1)求曲线y=f(x)在点(2,﹣6)处的切线的方程.
(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=﹣ x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.
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【题目】如图,已知动直线l过点 ,且与圆O:x2+y2=1交于A、B两点.
(1)若直线l的斜率为 ,求△OAB的面积;
(2)若直线l的斜率为0,点C是圆O上任意一点,求CA2+CB2的取值范围;
(3)是否存在一个定点Q(不同于点P),对于任意不与y轴重合的直线l,都有PQ平分∠AQB,若存在,求出定点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知等差数列{an}和等比数列{bn},其中{an}的公差不为0.设Sn是数列{an}的前n项和.若a1 , a2 , a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{ }为等差数列,求实数t;
(3)构造数列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,若该数列前n项和Tn=1821,求n的值.
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【题目】在下列结论中: ①函数y=sin(kπ﹣x)(k∈Z)为奇函数;
②函数 的图象关于点 对称;
③函数 的图象的一条对称轴为 π;
④若tan(π﹣x)=2,则cos2x= .
其中正确结论的序号为(把所有正确结论的序号都填上).
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