Question

已知函数f(x)=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

(ω＞0)的最小正周期为4π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过两角和公式把f（x）化简成f（x）=sin（2ωx+

π

6

），通过已知的最小正周期求出ω，得到f（x）的解析式．再通过正弦函数的单调性求出答案．
（2）根据正弦定理及（2a-c）cosB=bcosC，求出cosB，进而求出B．得到A的范围．把A代入f（x）根据正弦函数的单调性，求出函数f（A）的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)，
∵T=

2π

2ω

=4π，
∴ω=

1

4

，
∴f(x)=sin(

1

2

x+

π

6

)，
∴f（x）的单调递增区间为[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈Z)；
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC2sinAcosB=sin（B+C）=sinA
∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

∵f(A)=sin(

1

2

A+

π

6

)，0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

∴f(A)∈(

1

2

，1)．

点评：本题主要考查正弦函数的两角和公式的应用．常与三角函数中的周期性、单调性等问题一块考查，故需熟练掌握三角函数中的各种性质．