Question

已知f（x）=

1

2

lnx-

1

2e2

x（e为自然对数的底），g（x）=x-

a

x

（a＞0）．若对任意x₁，x₂∈[2，2e²]都有g（x₁）≥f（x₂），则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：分别求出f（x），g（x）的导数，判断它们的单调性，求出极值，得到它们的最大值和最小值，由于对任意x₁，x₂∈[2，2e²]都有g（x₁）≥f（x₂），则只要g（x₁）的最小值≥f（x₂）的最大值，解不等式即可得到a的范围．

解答： 解：g（x）=x-

a

x

（a＞0）的导数为g′（x）=1+

a

x2

＞0，
则g（x）在[2，2e²]上递增，即有g（2）最小，且为2-

a

2

，
又f（x）=

1

2

lnx-

1

2e2

x，其导数f′（x）=

1

2x

-

1

2e2

，
令f′（x）=0，得x=e²∈[2，2e²]，且在x=e²处导数左正右负，
为极大值点，也为最大值点，
则f（x）的最大值为f（e²）=

1

2

×2-

1

2e2

×e²=

1

2

，
由于对任意x₁，x₂∈[2，2e²]都有g（x₁）≥f（x₂），
则只要g（x₁）的最小值≥f（x₂）的最大值，
即有2-

a

2

≥

1

2

，解得0＜a≤3．
故答案为：（0，3]．

点评：本题考查导数的运用：求极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求函数的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．