Question

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.
（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系:

年入流量
发电量最多可运行台数	1	2	3

 
若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

Answer 1

（1）0.9477；（2）8620, 2.

解析试题分析：（1）先求，，，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为（单位：万元）①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出，比较大小，再确定应安装发电机台数.
（1）依题意，，
，，
由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：
.
（2）记水电站年总利润为（单位：万元）
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润，.
②安装2台发电机.
当时，一台发电机运行，此时，
因此，
当时，两台发电机运行，此时，
因此.由此得的分布列如下：

	4200	10000
	0.2	0.8

 
所以.
③安装3台发电机.
依题意，当时，一台发电机运行，此时，
因此；
当时，两台发电机运行，此时，
此时，
当时，三台发电机运行，此时，
因此，
由此得的分布列如下：

	34	9200	15000
	0.2	0.8	0.1

 
所以.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
考点：二项分布，随机变量的均值.