Question

【题目】如图，在平面直角坐标系内从点P1（0,0）作x轴的垂线交曲线y＝ex于点Q1（0,1），曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；…；Pn，Qn，记点的坐标为（,0）（k＝1,2，…，n）.

（1）试求与的关系（k＝2，…，n）；

（2）求|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|.

Answer 1

【答案】(1)xk＝xk－1－1（k＝2，…，n）；(2).

【解析】试题分析：(I)设出Pk-1的坐标，求出Qk-1，利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令y=0得到xk与xk+1的关系．

(II)求出|PkQk|的表达式，利用等比数列的前n项和公式求出和

试题解析：（1）设点Pk－1的坐标是（xk－1,0），

∵y＝ex，∴y′＝ex，

∴Qk－1（xk－1，exk－1），在点Qk－1（xk－1，exk－1）处的切线方程是y－exk－1＝exk－1（x－xk－1），令y＝0，则

xk＝xk－1－1（k＝2，…，n）；

（2）∵x1＝0，xk－xk－1＝－1，

∴xk＝－（k－1），

∴|PkQk|＝exk＝e－（k－1），

于是有|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|

＝1＋e－1＋e－2＋…＋e－（n－1）

＝＝，

即|P1Q1|＋|P2Q2|＋|P3Q3|＋…＋|PnQn|＝.