试题分析:(1)设双曲线方程为
-
=1,由已知得
=
∴
=
∴渐近线方程为
y=±
x …………2分
则
P1(
x1,
x1)
P2(
x2,-
x2)
设渐近线
y=
x的倾斜角为
θ,则tan
θ=
∴sin2
θ=
=
∴
=
|
OP1||
OP2|sin2
θ=
·
∴
x1·
x2=
…………5分
(2)不妨设
P分
所成的比为
λ=2,
P(
x,
y), 则
x=
y=
=
∴
x1+2
x2=3
x x1-2
x2=2
y …………7分
∴(3
x)
2-(2
y)
2=8
x1x2=36
∴
-
=1 即为双曲线
E的方程 …………9分
(3)由(2)知
C=
,∴F
1(-
,0) F
2(
,0) 设
M(
x0,
y0)
则
y=
x-9,
=(-
-x
0,-y
0)
=(
-
x0,-
y0)
∴
·
=
x-13+
y=
x-22 …………12分
若∠
F1MF2为钝角,则
x-22<0
∴|
x0|<
又|
x0|>2
∴
x0的范围为(-
,-2)∪(2,
) ……14分
点评:本题主要考查双曲线的标准方程和性质、数量积的应用等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法