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    是否存在常数C，使得不等式
    x
    2x+y
    +
    y
    x+2y
    ≤C≤
    x
    x+2y
    +
    y
    2x+y
    对任意正数x、y恒成立？试证明你的结论．
    分析：先用特殊情况确定出C=
    2
    3
    ，先证
    x
    2x+y
    +
    y
    x+2y
    ≤
    2
    3
    ，再证
    x
    x+2y
    +
    y
    2x+y
    ≥
    2
    3
    ．将不等式等价转化．
    解答：解：当x=y时，可由不等式得出C=
    2
    3
    ．
    下面分两个方面证明．
    先证
    x
    2x+y
    +
    y
    x+2y
    ≤
    2
    3
    ，此不等式?3x（x+2y）+3y（2x+y）≤2（2x+y）（x+2y）?x2+y2≥2xy．
    而 x2+y2≥2xy 显然成立，
    ∴
    x
    2x+y
    +
    y
    x+2y
    ≤
    2
    3
    成立．
    再证
    x
    x+2y
    +
    y
    2x+y
    ≥
    2
    3
    ，
    此不等式?3x（2x+y）+3y（x+2y）≥2（x+2y）（2x+y）?2xy≤x2+y2．
    而 2xy≤x2+y2显然成立．
    ∴
    x
    x+2y
    +
    y
    2x+y
    ≥
    2
    3
    成立，
    综上，可知存在常数C=
    2
    3
    ，使对任何正数x、y不等式恒成立．
    点评：先探索C值，然后分别证明不等式的前半部分和后半部分．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=（n+1）an+cn（n+1），（c为常数）
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）设bn=(
    12
    )nan    ，是否存在常数c，使得数列{bn}为递减数列，若存在求出c的值；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （附加题）是否存在常数c，使得不等式
    x
    2x+y+z
    +
    y
    x+2y+z
    +
    z
    x+y+2z
    ≤c≤
    x
    x+2y+z
    +
    y
    x+y+2z
    +
    z
    2x+y+z

    对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切．
    （1）设b=?（c），求?（c）；
    （2）是否存在常数c，使得函数H（x）=f（x）g（x）在（-∞，+∞）内有极值点．若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），f（an）和g（an）满足：a1=2，且（an+1-an）g（an）+f（an）=0．
    （1）是否存在常数C，使得数列{an+C}为等比数列？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由．
    （2）设bn=3f（an）-[g（an+1）]2，求数列{bn}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•湖北模拟）已知数列{an}的前n项和为{Sn}，又有数列{bn}满足关系b1=a1，对n∈N*，有an+Sn=n，bn+1=an+1-an
    （1）求证：{bn}是等比数列，并写出它的通项公式；
    （2）是否存在常数c，使得数列{Sn+cn+1}为等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．

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