Question

已知在数列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²（t＞0且t≠1）．是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，当t=2时，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（3）当t=2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函数求导令，即．变形可得a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）符合等比数列的定义，利用通项公式求解．
（2）由（1）求得，再求得S_n=由S_n＞2008，得，，当n≤1400时，，当n≥1005时，，取得n最小值
（3）由想到裂项相消法求和，由其结构不妨设g（k）=2^k，运算验证即可．
解答：解：（1）f'（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]（n≥2）．
由题意，即．（1分）
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵t＞0且t≠1，∴数列{a_n+1-a_n}是以t²-t为首项，t为公比的等比数列，（2分）
∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1=（t-1）•tⁿ，
∴a₂-a₁=（t-1）t，
a₃-a₂=（t-1）•t²，
a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式两边分别相加得a_n-a₁=（t-1）（t+t²+t^n-1），∴a_n=tⁿ（n≥2），
当n=1时，上式也成立，∴a_n=tⁿ（5分）
（2）当t=2时，
∴
=（7分）
由S_n＞2008，得，，（8分）
当，
因此n的最小值为1005．（10分）
（3）∵
令g（k）=2^k，则有：
则==（13分）
即函数g（k）=2^x满足条件．
点评：本题主要考查函数求导，变形求数列的通项公式和前n项和以及数列不等式的解法，多数是用放缩法．