Question

（本题12分）某公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的市场销售进行调研，结果如图（1）、（2）所示．其中（1）的抛物线表示的是市场的日销售量与上市时间的关系；（2）的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系．

（1）写出市场的日销售量与第一批产品A上市时间t的关系式；
（2）第一批产品A上市后的第几天，这家公司日销售利润最大，最大利润是多少？

Answer 1

(1)；
(2)第一批产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大，最大利润是万元．

试题分析：（1）先根据题意设f（t）=a（t-20）²+60，由f（0）=0求得a值即得日销售量f（t）（2）与第一批产品A上市时间t的关系式；
（2）先写出销售利润为g（t）万元，分类讨论：当30≤t≤40时，当0＜t≤30时，分别研究它们的单调性，而t∈N，故比较g（26），g（27）即可，经计算，g（26）＜g（27），故第一批产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大。
解：(1) 设，由可知
即；……………4分
(2) 设销售利润为万元，则
           ……………………8分
当时，单调递减；
当时，，易知在单增，单减，而，故比较，经计算，，故第一批产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大，最大利润是万元．………………12分
点评：解决该试题的函数模型为分段函数，求分段函数的最值，应先求出函数在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值，取各部分的最小者为整个函数的最小值．