Question

已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，则x₁•x₂=（　　）

A．2006

B．2007

C．2008

D．2009

Answer 1

分析：由题意可得，x₁是函数y=

2009

x

和y=lgx交点M的横坐标，x₂ 是函数y=

2009

x

和y=10^x的图象的交点N的横坐标．由于函数y=10^x和y=lgx互为反函数，故线段MN的中点G在直线y=x上．由于M（x₁，

2009

x1

），N（x₂，

2009

x2

），G（

x1+x2

2

，

2009 x1 + 2009 x2

2

），可得 

x1+x2

2

=

2009 x1 + 2009 x2

2

，由此求得 x₁•x₂ 的值．

解答：解：已知x₁是方程xlgx=2009的根，x₂是方程x•10^x=2009的根，则x₁是函数y=

2009

x

 和y=lgx交点M的横坐标，
x₂ 是函数y=

2009

x

和y=10^x的图象的交点N的横坐标．
由于 函数y=10^x和y=lgx互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，故M、N两个点关于直线y=x对称，
即线段MN的中点G在直线y=x上．
由于M（x₁，

2009

x1

），N（x₂，

2009

x2

），G（

x1+x2

2

，

2009 x1 + 2009 x2

2

），
∴

x1+x2

2

=

2009 x1 + 2009 x2

2

，∴x₁•x₂=2009，
故选D．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，互为反函数的两个函数的图象间的关系，属于中档题．