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四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,CD∥AB,AB=4,CD=1,点M在PB上,且MB=3PM,PB与平面ABC成30°角.
(1)求证:CM∥面PAD;
(2)求证:面PAB⊥面PAD;
(3)求点C到平面PAD的距离.

解:如图,建立空间直角坐标系O-xyz,C为坐标原点O,
(1)证明:如图,建立空间直角坐标系.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC为PB与平面ABC所成的角,即∠PBC=30°.
∵|PC|=2,∴|BC|=2,|PB|=4.
得D(1,0,0)、B(0,2,0)、
A(4,2,0)、P(0,0,2).
∵|MB|=3|PM|,
∴|PM|=1,M(0,),=(0,),
=(-1,0,2),=(3,2,0).
=x+y(x、y∈R),
则(0,)=x(-1,0,2)+y(3,2,0)?x=且y=
=+
共面.又∵C∉平面PAD,故CM∥平面PAD.
(2)证明:过B作BE⊥PA,E为垂足.
∵|PB|=|AB|=4,∴E为PA的中点.
∴E(2,,1),=(2,-,1).
又∵=(2,-,1)•(3,2,0)=0,
,即BE⊥DA.
而BE⊥PA,∴BE⊥面PAD.
∵BE?面PAB,∴面PAB⊥面PAD.
(3)解:由BE⊥面PAD知,
平面PAD的单位向量n0==(2,-,1).
∴CD=(1,0,0)的点C到平面PAD的距离
d=|n0|=|(2,-,1)•(1,0,0)|=
分析:根据题意,建立空间直角坐标系O-xyz,C为坐标原点O,
(1)要证CM∥面PAD,只需求出向量与面PAD内的向量共面即可.
( 2)过B作BE⊥PA,E为垂足.要证面PAB⊥面PAD,只需证明面PAB内的向量垂直面PAD内的直线PA、DA即可;
(3)利用在平面PAD的单位向量上的射影,求点C到平面PAD的距离.
点评:本题主要考查空间直角坐标系的概念、空间点和向量的坐标表示以及用向量法证明平行关系,同时考查向量研究空间图形的数学思想方法.突破点在于求出相关的向量所对应的坐标.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E、F、G分别是PD、PC、BC的中点.
(I)求证:PA∥平面EFG;
(II)求平面EFG⊥平面PAD;
(III)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•上海)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点,已知AB=2,AD=2
2
,PA=2,求:
(1)三角形PCD的面积;
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.

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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD,若PA=AB=BC=
12
,AD=1.
(I)求证:CD⊥平面PAC
(II)求二面角A-PD-C的余弦值.

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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°,M为AB的中点.
(1)求证:BC∥平面PMD;
(2)求证:PC⊥BC;
(3)求点A到平面PBC的距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,其中PA=PD=AD=2,∠BAD=60°,Q为AD的中点.
(1)求证:PA∥平面MDB;
(2)求证:AD⊥平面PQB;
(3)若平面PAD⊥平面ABCD,且M为PC的中点,求四棱锥M-ABCD的体积.

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