Question

已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各两个交点，分别为和．
（1）求的斜率的取值范围；    （2）若，求的方程．

Answer 1

（1）  
（2）时，：：；
时，：：

（1）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两具交点，故方程组
          ①
有两组不同实根，在方程①中消去，整理得
         ②
若，则方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾．故即．方程②的判别式为
．
设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组
     ③
有两个不同的解．在方程组③中消去，整理得
         ④
类似前面的讨论，有．
因为，所以，于是，与双曲线各有两个交点，等价于下列混合组成立
，解得．
故．
（2）设，则（1）的解答中方程②知

所以
　             ⑤
同理可得             ⑥
由，得．
将⑤，⑥代入上式得，
解得      ．
取时，：：；
即时，：：．