Question

【题目】已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的个数为（ ）

①的实轴长为；②的离心率为；

③曲线经过的一个焦点；④直线与有两个公共点.

A.个B.个C.个D.个

Answer 1

【答案】C

【解析】

设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，可得出双曲线的方程，然后利用双曲线的几何性质可判断出命题①②③的正误，将直线的方程与双曲线的方程联立，由的符号判断出命题④的正误.

由于双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程得，

所以，双曲线的方程为.

对于命题①，双曲线的实轴长为，命题①正确；

对于命题②，双曲线的离心率为，命题②正确；

对于命题③，令，得，所以，曲线经过双曲线的右焦点，命题③正确；

对于命题④，联立，消去得，，

则直线与双曲线只有一个公共点，命题④错误.

因此，真命题的个数为.

故选：C.