Question

已知，如图，AB是圆柱的母线，BC是圆柱底面圆的直径，D是圆柱底面圆上与B、C不重合的点，用＜MN，EF＞表示直线MN、EF的夹角．
（Ⅰ）在三棱锥A-BCD中，写出所有两棱的夹角（不写出具体的角度值）；
（Ⅱ）在三棱锥A-BCD中的六条棱中取两条棱，求这两条棱互相垂直的概率．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得＜AD，AB＞，＜AB，AC＞，＜AC，AD＞，＜AB，CD＞，＜AB，BC＞，
＜AB，BD＞，＜AC，BC＞，＜AC，BD＞，＜AC，CD＞，＜AD，BD＞，
＜AD，CD＞，＜AD，BC＞，＜BC，BD＞，＜BC，CD＞，＜BD，CD＞．
共15个；
（Ⅱ）∵AB是圆柱的母线，∴＜AB，BC＞=

π

2

，＜AB，BD＞=

π

2

，＜AB，CD＞=

π

2

．
∵BC是圆柱底面圆的直径，∴＜BD，CD＞=

π

2

，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AD．
设“在三棱锥A-BCD中的六条棱中取两条棱，这两条棱互相垂直”为事件E，则P(E)=

5

15

=

1

3

．
∴在三棱锥A-BCD中的六条棱中取两条棱，这两条棱互相垂直的概率为

1

3

．