有如下命题:已知椭圆x29+y24=1.AA′是椭圆的长轴.P(x1.y1)是椭圆上异于A.A′的任意一点.过P作斜率为-4x19y1的直线l.过直线l上的两点M.M′分别作x轴的垂线.垂足分别为点A.A′.则(1)|AM||A′M′|为定值4,(2)由A.A′.M′.M四点构成的四边形面积的最小值为12．请分析上述命题.并根据上述命题对于椭圆x2a2+y2b2=1构造出一个具有一� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

有如下命题：已知椭圆

=1，AA′是椭圆的长轴，P（x₁，y₁）是椭圆上异于A，A′的任意一点，过P作斜率为-

4x1

9y1

的直线l，过直线l上的两点M，M′分别作x轴的垂线，垂足分别为点A，A′，则
（1）|AM||A′M′|为定值4；
（2）由A，A′，M′，M四点构成的四边形面积的最小值为12．
请分析上述命题，并根据上述命题对于椭圆

=1（a＞b＞0）构造出一个具有一般性结论的命题，使上述命题是一个特例，写出这一命题，并证明这一命题是真命题．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：分析题设命题，根据命题对于椭圆

=1（a＞b＞0）性质能构造出一个具有一般性结论的命题，使题设命题是一个特例，写出这一命题并证明：（1）不妨设A（-a，0），A′（a，0），则直线l：y-y₁=-

b2x1

a2y1

(x-x1)，即b2x1x+a2y1y=b2x12+a2y12=a2b2，由M与A，M′与A′在相同的横坐标，能证明|AM||A′M′|=b²；（2）由题意知，不论四点的位置如何，四边形的面积S=

|AA′|(|AM|+|A′M′|)．由此能证明四边形的面积的最小值为2ab．

解答： 解：这一命题是：已知

=1，a＞b＞0，AA′是椭圆的长轴，P（x₁，y₁）是椭圆上异于A，A′的任意一点，过P作斜率为-

b2x1

a2y1

的直线l，过直线l上的两点M，M′分别作x轴的垂线，垂足分别为A，A′，则：
（1）|AM||A′M′|为定值b²；
（2）由A，A′，M′，M四点构成的四边形面积的最小值为2ab．（6分）．
这个命题是真命题，证明如下：
（1）不妨设A（-a，0），A′（a，0），则直线l：y-y₁=-

b2x1

a2y1

(x-x1)，
即b2x1x+a2y1y=b2x12+a2y12=a2b2，
由M与A，M′与A′在相同的横坐标，
得M（-a，

ab2+b2x1

ay1

），M′(a，

ab2-b2x1

ay1

)，
∴|AM||A′M′|=|yMyM′|
=|

ab2+b2x1

ay1

•

ab2-b2x1

ay1

|
=|b2•

a2b2-b2x12

a2y12

|=b²．（10分）
（2）由题意知，不论四点的位置如何，
四边形的面积S=

|AA′|(|AM|+|A′M′|)．
∵|AA'|=2a，且|AM|，|A′M′|都为正数，
∴S=

|AA′|(|AM|+|A′M′|)=a(|AM|+|A′M′|)≥a(2

|AM||A′M′|

)=2ab．
即四边形的面积的最小值为2ab．（14分）

点评：本题考查命题的叙述与证明，考查椭圆的性质、直线与圆锥曲线的关系、考查函数与方程思想、考查推理论证能力的培养，是中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>