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18.已知关于x的不等式$\frac{{{a^2}-a+1}}{a-1}≥|2x-1|+|x+1|$对于a∈(1,+∞)恒成立,求实数x的取值范围.

分析 根据基本不等式的性质得到3≥|2x-1|+|x+1|,通过讨论a的范围,求出不等式的解集即可.

解答 解:设a-1=t>0,
则$\frac{{{a^2}-a+1}}{a-1}=\frac{{{t^2}+t+1}}{t}=t+\frac{1}{t}+1≥3$,
当且仅当t=1时取等号.
所以3≥|2x-1|+|x+1|,
(1)当$x≥\frac{1}{2}$时,有3≥3x,得$1≥x≥\frac{1}{2}$;
(2)当$-1<x<\frac{1}{2}$时,有3≥-x+2,得$-1<x<\frac{1}{2}$;
(3)当x≤-1时,有3≥-3x,得x=-1.
综上实数x的取值范围为[-1,1].

点评 本题考查了基本不等式的性质,考查绝对值不等式的解法,是一道基础题.

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