Question

如图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为

3

米（将眼睛距地面的距离SA按

3

米处理）．
（1）求摄影者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影者观察彩杆MN的视角∠MSN（设为θ）是否存在最大值？若存在，请求出∠MSN取最大值时cosθ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=

3

，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S(3，-

3

)．，利用向量的数量积的坐标表示可求cos∠MSN=

SM • SN

| SM |•| SN |

∈[

11

13

，1]，结合余弦函数的性质可求
另解：由题意可得cos∠MOS=-cos∠NOS，结合余弦定理可得

MO2+SO2-SM2

2MO•SO

=-

NO2+SO2-SN2

2NO•SO

，则有SM²+SN²=26可求cosθ范围

解答：解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=

3

，故在Rt△SAB中，可求得BA=

SA

tan30°

=3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=

3

，
又BC=SA=

3

，故OB=2

3

，即立柱的高度为2

3

米．…（6分）
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（cosα，sinα），α∈[0，2π），
则N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S(3，-

3

)．…（8分）
故

SM

=(cosα-3，sinα+

3

)，

SN

=(-cosα-3，-sinα+

3

)，

∵SM

•

SN

=(cosα-3)(-cosα-3)+(sinα-3)(-sinα-3)=11（10分）|

SM

|•|

SN

|=

(cosα-3)2+(sinα+ 3 )2

•

(-cosα-3)2+(-sinα+ 3 )2

=

13-(6cosα-2 3 sinα)

•

13+(6cosα-2 3 sinα)

=

169-[4 3 cos(α+ π 6 )2

=

169-48cos2(α+ π 6 )

由α∈[0，2π）知

|SM

|•|

SN

|∈[11，13]…（12分）
所以cos∠MSN=

SM • SN

| SM |•| SN |

∈[

11

13

，1]，易知∠MSN为锐角，
故当视角∠MSN取最大值时，cosθ=

11

13

．…（13分）
另解：∵cos∠MOS=-cos∠NOS
∴

MO2+SO2-SM2

2MO•SO

=-

NO2+SO2-SN2

2NO•SO

于是    得SM²+SN²=26
从而cosθ=

SM2+SN2-MN2

2SM•SN

≥

SM2+SN2-MN2

SM2+SN2

=

11

13

点评：本题考查的是解三角形的应用，解题的 关键是准确理解基本概念：仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义及正弦、余弦定理．