Question

有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成．

第一排	明文字符	A	B	C	D
	密码字符	11	12	13	14
第二排	明文字符	E	F	G	H
	密码字符	21	22	23	24
第三排	明文字符	M	N	P	Q
	密码字符	1	2	3	4

设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数，
（Ⅰ）求P（ξ=2）；
（Ⅱ）求ξ的概率分布列和它的数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码，由此可求P（ξ=2）；
（Ⅱ）取得ξ的取值，分别求出相应的概率，即可得到ξ的概率分布列和它的数学期望．

解答：解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码，所以P（ξ=2）=

23

43

=

1

8

；
（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形．
若ξ=3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4．
∴P（ξ=3）=

2(22 A 1 3 +2 C 2 3 +1)

43

=

19

32

P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=

9

32

∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
p	1 8	19 32	9 32

∴Eξ=2×

1

8

+3×

19

32

+4×

9

32

=

101

32

．

点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．