Question

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[-2.5]=-3，[2.5]=2，[2]=2，那么[log₂1]+[log₂2]+…+[log₂1024]=

1. A.
   8204
2. B.
   4102
3. C.
   2048
4. D.
   1024

Answer 1

A
分析：根据高斯函数的定义，将所求的1024个数进行取整，找到规律然后运用数列求和的方法求出该式子的值．
解答：当2ⁿ≤x＜2 ⁿ⁺¹时，[log₂x]=n，
因此所求的值为：[log₂1]+[log₂2]+…+[log₂1024]中有1个0，2个1，2²个2，2³个3，2^，4个4，…，2⁹个9，1个10．
因此：设所求的和为S=0+2×1+2²×2+2³×3+…+2⁹×9+10①
2S=2²×1+2³×2+…+2¹⁰×9+20 ②，
①-②，得-S=2+2²+2³+…+2⁹-2¹⁰×9-10=-2¹⁰×9-10=-2¹⁰×8-12=-8204，
故所求的和为S=8204．
故选A．
点评：本题考查新定义问题的求解思路，考查数列求和中的错位相减求和方法．关键要找准所求和的规律，体现了转化与化归思想的运用．