Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若直线AP与BP的斜率之积为-

1

2

，求椭圆的离心率；
（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞

3

．

Answer 1

（1）设P（x₀，y₀），∴

x02

a2

+

y02

b2

=1①
∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右顶点分别为A，B，∴A（-a，0），B（a，0）
∴kAP=

y0

x0+a

，kBP=

y0

x0-a

∵直线AP与BP的斜率之积为-

1

2

，∴x02=a2-2y02
代入①并整理得(a2-2b2)y02=0
∵y₀≠0，∴a²=2b²
∴e2=

a2-b2

a2

=

1

2

∴e=

2

2

∴椭圆的离心率为

2

2

；
（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x₀，kx₀），∴

x02

a2

+

k2x02

b2

=1
∵a＞b＞0，kx₀≠0，∴

x02

a2

+

k2x02

a2

＜1
∴(1+k2)x02＜a2②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴(x0+a)2+k2x02=a2
∴(1+k2)x02+2ax0=0
∴x0=

-2a

1+k2

代入②得(1+k2)(

-2a

1+k2

)2＜a2
∴k²＞3
∴直线OP的斜率k满足|k|＞

3

．