Question

（2013•韶关二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a＞1）的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y²=2px以F₂为焦点．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设A、B是抛物线C上两动点，过点M（1，2）的直线MA，MB与y轴交于点P、Q．△MPQ是以MP、MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的标准方程及c²=a²-b²即可得到c，即可求出p，进而得到抛物线C的方程；
（2）直线AB的斜率为定值-1．证法一：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由M（1，2），A、B在抛物线y²=4x上，代入抛物线的方程，可用坐标表示直线MA，MB的斜率，由△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB，即可证明直线AB的斜率为定值；
证法二：设A(

y12

4

 ， y1)，B(

y22

4

 ， y2)，则kAM=

y1-2

y12 4 -1

=

4

y1+2

，kBM=

4

y2+2

，由△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，可得k_MA=-k_MB，以下同上．

解答：解：（1）由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1，
∴椭圆焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又抛物线C的焦点为(

p

2

，0)，∴

p

2

=1，解得p=2，∴抛物线C的标准方程为：y²=4x．
（2）直线AB的斜率为定值-1．
证明如下：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵M（1，2），A、B在抛物线y²=4x上，∴

y 2 1 =4x1  ① y 2 2 =4x2  ② 22=4×1  ③

由①-③得，kMA=

y1-2

x1-1

=

4

y1+2

   ④
由②-③得，kMB=

y2-2

x2-1

=

4

y2+2

   ⑤
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
由k_MA=-k_MB得

y1-2 x1-1 =- 4 y2+2 y2-2 x2-1 =- 4 y1+2

化简整理，
得

y1y2-2y2+2y1-4=-4x1+4 y1y2-2y1+2y2-4=-4x2+4

上两式相减得：4（y₁-y₂）=-4（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

=

-4

4

=-1为定值．
解法二：设A(

y12

4

 ， y1)，B(

y22

4

 ， y2)，
则kAM=

y1-2

y12 4 -1

=

4

y1+2

，kBM=

4

y2+2

，
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB
即

4

y1+2

+

4

y2+2

=0
∴

y1+y2+4

(y1+2)(y2+2)

=0
由y₁+y₂+4=0得 y₁+y₂=-4．
∴kAB=

y2-y1

y22 4 - y12 4

=

4(y2-y1)

y22-y12

=

4

y1+y2

=

4

-4

=-1．
∴直线AB的斜率为定值-1．

点评：熟练掌握椭圆、抛物线的标准方程及其性质、直线与圆锥曲线相交问题、直线的斜率计算公式、等腰三角形的性质等是解题的关键．