Question

4．设命题p：关于x的不等式1-a•2^x≥0在x∈（-∞，0]上恒成立；命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是实数集R．如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 根据条件求出命题p，q成立的等价条件，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围

解答 解：x∈（-∞，0]时，2^x∈（0，1]，
∵1-a•2^x≥0在x∈（-∞，0]上恒成立，
∴1≥a•2^x，∴a≤$\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵当x≤0时，$\frac{1}{{2}^{x}}$≥1，
∴a≤1，
即使p正确的a的取值范围是：a≤1．
由函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．可得ax²-x+a＞0恒成立
（1）当a=0时，ax²-x+a=-x不能对一切实数恒大于0．
（2）当a≠0时，由题意可得，△=1-4a²＜0，且a＞0
∴a＞$\frac{1}{2}$．
故q正确：a＞$\frac{1}{2}$．
∵命题p和q有且仅有一个正确，
∴①若p正确而q不正确，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即a≤$\frac{1}{2}$，
②若q正确而p不正确，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤0，或a＞1}\end{array}\right.$，即a＞1，
故所求的a的取值范围是：（-∞，$\frac{1}{2}$]∪（1，+∞）．

点评 本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．求出命题的等价条件是解决本题的关键．注意函数的定义域的合理运用．