Question

已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos²ωx-sin²ωx，（ω＞0），若函数f（x）的最小正周期为

π

2

．
（1）求ω的值，并求函数f（x）的最大值；
（2）若0＜x＜

π

16

，当f（x）=

6

2

时，求

1+tan4x

1-tan4x

的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简函数表达式，通过函数的周期公式，求ω的值，通过正弦函数的最大值求函数f（x）的最大值；
（2）利用0＜x＜

π

16

，以及f（x）=

6

2

，求出sin(4x+

π

4

)，4x+

π

4

的值，然后求

1+tan4x

1-tan4x

的值

解答：解：（1）f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin(2ωx+

π

4

)…（2分）
因为函数f（x）的最小正周期为

π

2

，所以T=

2π

2ω

=

π

2

，即ω=2…（3分）
此时f(x)=

2

sin(4x+

π

4

)，所以f（x）的最大值为

2

．…（5分）
（2）当f(x)=

6

2

时，即f(x)=

2

sin(4x+

π

4

)=

6

2

，
化简得sin(4x+

π

4

)=

3

2

．…（7分）
因为0＜x＜

π

16

，所以

π

4

＜4x+

π

4

＜

π

2

，所以4x+

π

4

=

π

3

．…（9分）

1+tan4x

1-tan4x

=

tan π 4 +tan4x

1-tan π 4 tan4x

=tan(4x+

π

4

)=tan

π

3

=

3

．…（12分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，二倍角与两角和的正弦函数的应用，两角和的正切函数的应用，考查计算能力．