Question

2．已知二次函数f（x）图象过点（0，6），它的图象的对称轴为x=3，且f（x）的两个零点的平方和为12，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 先设出二次函数的表达式，根据图象过（0，6），求出c的值，结合函数的对称轴得到a，b的关系，设出函数的两个零点，得到方程组，从而求出函数的解析式．

解答 解：设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（x）图象过点（0，6），∴c=6．
又f（x）的对称轴为x=3，
∴-$\frac{b}{2a}$=3，即b=-6a，
∴f（x）=ax²-6ax+6（a≠0）．
设方程ax²-6ax+6=0（a≠0）的两个实根为x₁、x₂，
则x₁+x₂=6，${x_1}{x_2}=\frac{6}{a}$，又x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=12，
∴x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$36-\frac{12}{a}$，
∴36-$\frac{12}{a}$=12，得a=$\frac{1}{2}$，b=-3，
∴$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-3x+6$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的零点问题，本题属于中档题．