分析 (1)因为f(x)为偶函数所以f(-x)=f(x)代入求得k的值即可;
(2)函数与直线没有交点即log9(9x+1)-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b无解,即方程log9(9x+1)-x=b无解.令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.推出g(x)为减函数得到g(x)>0,所以让b≤0就无解.
(3)函数f(x)与h(x)的图象有且只有一个公共点,即联立两个函数解析式得到方程,方程只有一个解即可
解答 解:(1)因为y=f(x)为偶函数,
所以?x∈R,f(-x)=f(x),
即log9(9-x+1)-kx=log9(9x+1)+kx对于?x∈R恒成立.
即2kx=log9(9-x+1)-log9(9x+1)=log9($\frac{{9}^{-x}+1}{{9}^{x}+1}$)=log9(9-x)=-x恒成立,
即(2k+1)x=0恒成立,
而x不恒为零,所以k=-$\frac{1}{2}$.
(2)由题意知方程log9(9x+1)-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+b即方程log9(9x+1)-x=b无解.
令g(x)=log9(9x+1)-x,则函数y=g(x)的图象与直线y=b无交点.
因为g(x)=log9($\frac{{9}^{x}+1}{{9}^{x}}$)=log9(1+$\frac{1}{{9}^{x}}$)
任取x1、x2∈R,且x1<x2,则0<9x1<9x2,从而$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$>$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$.
于是log9(1+$\frac{1}{{9}^{{x}_{1}}}$)>log9(1+$\frac{1}{{9}^{{x}_{2}}}$),即g(x1)>g(x2),
所以g(x)在(-∞,+∞)是单调减函数.
因为1+$\frac{1}{{9}^{x}}$>1,所以g(x)=log9(1+$\frac{1}{{9}^{x}}$)>0.所以b的取值范围是(-∞,0].
(3)由函数h(x)有且只有一个零点,
则方程3x+$\frac{1}{{3}^{x}}$=a•3x-$\frac{4}{3}$a有且只有一个实数根.
令3x=t>0,则关于t的方程(a-1)t2-$\frac{4}{3}$at-1=0(记为(*))有且只有一个正根.
若a=1,则t=-$\frac{3}{4}$,不合,舍去;
若a≠1,则方程(*)的两根异号或有两相等正根.
由△=0⇒a=$\frac{3}{4}$或-3;
但a=$\frac{3}{4}$⇒t=-$\frac{1}{2}$,不合,舍去;
而a=-3⇒t=$\frac{1}{2}$;
方程(*)的两根异号?(a-1)•(-1)<0,即-a+1<0,解得:a>1.
综上所述,实数a的取值范围{-3}∪(1,+∞).
点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质,熟练掌握对数函数的图象和性质,是解答的关键.
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A. | (1,-2,-3) | B. | (1,-2,3) | C. | (1,2,3) | D. | (-1,2,-3) |
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