Question

已知双曲线的两个焦点分别为F₁、F₂，则满足△PF₁F₂的周长为的动点P的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根据已知双曲线方程，运用公式可得它的两个焦点分别为F₁（0，-）、F₂（0，）．再根据△PF₁F₂的周长为，结合椭圆的定义得到点P的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，因为三角形三顶点不能共线，所以上、下顶点除外．由椭圆的定义求得椭圆的长半轴、短半轴分别为3和2．因此可得椭圆的标准方程，得到正确选项．
解答：解：∵双曲线的方程为，
∴a²=2，b²=3，可得c²=a²+b²=5，c=
因此双曲线的两个焦点分别为F₁（0，-）、F₂（0，），
∵△PF₁F₂的周长为，F₁F₂=
∴PF₁+PF₂=6，点P的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，（上下顶点除外）
由椭圆的定义得，椭圆长轴为6，长半轴为3．
所以该椭圆的短半轴为：=2
∴点P的轨迹方程为
故选C
点评：本题以一个轨迹问题为例，着重考查了椭圆、双曲线等圆锥曲线的标准方程，以及简单的轨迹方程求法等知识点，属于中档题．