Question

已知三棱锥P-ABC中，PC⊥底面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，二面角P-AB-C为45⁰，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E．
（Ⅰ）求证：AP⊥平面BDE；
（Ⅱ）求直线EB与平面PAC所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先证明BD⊥平面ACP，可得BD⊥AP，根据AP⊥DE，，利用线面垂直的判定，可得AP⊥平面BDE
（Ⅱ）判断∠BED为直线EB与平面PAC所成的角，∠PBC为二面角P-AB-C的平面角，利用∠PBC=45°，求出DE、BD，即可求得直线EB与平面PAC所成的角．

解答：（Ⅰ）证明：∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥BD，
又AB=BC，D为AC中点，∴BD⊥AC
∵PC∩AC=C
∴BD⊥平面ACP
∵AP?平面ACP，∴BD⊥AP，
又AP⊥DE，BD∩DE=D，
∴AP⊥平面BDE
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）的证明知BD⊥平面ACP，
∴∠BED为直线EB与平面PAC所成的角．
∵AB⊥BC，BC为PB在平面ABC上的射影
∴PB⊥AB，∴∠PBC为二面角P-AB-C的平面角，∴∠PBC=45°
∵AB=BC=2，∴PC=2，AC=2

2

，∴BD=

2

∵DE⊥AP，∴DE=

6

3

∴tan∠BED=

BD

DE

=

2

6 3

=

3

∴∠BED=60°

点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，掌握线面垂直的判定定理，找出线面角、面面角是关键．