Question

在△ABC中，sinA=

3

sinC．
（1）若B=

π

3

，求tanA的值；
（2）若△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且△ABC的面积S满足S=b²tanB，试判断△ABC的形状．

Answer 1

考点：三角形的形状判断,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用内角和定理和两角差的正弦公式及同角的商数关系，即可得到；
（2）由正弦定理和余弦定理，及三角形的面积公式，计算cosA＜0，即可判断形状．

解答： 解：（1）C=π-A-B=

2π

3

-A，
sinA=

3

sin（

2π

3

-A）=

3

（

3

2

cosA+

1

2

sinA），
（2-

3

）sinA=3cosA，
解得，tanA=6+3

3

；
（2）由正弦定理，sinA=

3

sinC
即为a=

3

c，①
又S=

1

2

acsinB=b²•

sinB

cosB

，
即有accosB=2b²，
由余弦定理得，a²+c²=5b²，②
将①代入②的，b=

2 5

5

c，
由余弦定理得，
cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4 5 c2+c2-3c2

2bc

＜0，
则A为钝角，
则△ABC为钝角三角形．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，考查三角形形状的判断，考查两角和差的正弦公式，属于中档题．