Question

设F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）是双曲线Γ：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，M是圆O：x²+y²=c²与双曲线左支的交点，线段MF₂与圆x²+y²-

2c

3

x+

a2

9

=0相切于点D，则双曲线Γ的离心率的值是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：联立双曲线方程和圆的方程，求出M的坐标，由直线方程的两点式求得MF₂的方程，化圆x²+y²-

2c

3

x+

a2

9

=0为标准方程，得到圆心坐标和半径，由圆心到直线MF₂的距离等于半径列式求得双曲线Γ的离心率的值．

解答： 解：如图，不妨设M为双曲线与圆在第二象限的交点，

联立

x2 a2 - y2 b2 =1 x2+y2=c2

，解得M（-

a b2+c2

c

，

b2

c

）．
∴MF₂所在直线方程为：

y

b2 c

=

x-c

- a b2+c2 c -c

，
整理得：b2x+(a

b2+c2

)y-b2c=0．
由x²+y²-

2c

3

x+

a2

9

=0，得(x-

c

3

)2+y2=

b2

9

，
则该圆的圆心坐标为（

c

3

，0），半径为

b

3

．
由线段MF₂与圆x²+y²-

2c

3

x+

a2

9

=0相切，得

| b2c 3 -b2c|

b4+a2(b2+c2)

=

b

3

，整理得：2b=c，即4a²=3c²，

c

a

=

2 3

3

．
故答案为：

2 3

3

．

点评：本题考查了双曲线的简单集合性质，考查了圆与圆锥曲线间的关系，考查了学生的计算能力，是中档题．