Question

【题目】已知数列满足，，.

（1）若，，，求的取值范围；

（2）若是公比为的等比数列，，，，求的取值范围；

（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值.

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）

【解析】

（1）由题意得，又，将已知代入可求出的范围；

（2）先求出通项，由求出，对分类讨论求出，分别代入不等式，得到关于的不等式组，解不等式组求出的范围；

（3）由题意得到关于的不等式，得出的最大值，并得出取最大值时的公差

解：（1）由题意得，，所以，

又因为，所以，得，

综上所述，

（2）由已知得，，

所以，

当时，，，即，成立，

当时，，，即，

，得，

因为，故，

对于不等式，令，得，

解得，

又当，，

所以成立

所以，

当时，，，

即，

所以，

因为，

所以，

，

所以当时，不等式恒成立，

综上所述，的取值范围为

（3）设的公差为，由，且，

得，

即，

当时，，

当时，由，得，
所以，

所以，

即，得，

所以的最大值为