Question

对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“和谐函数”，区间A为函数f（x）的一个“和谐区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=sin（

π

2

x）；
②f（x）=2x²-1；
③f（x）=|2^x-1|； 
④f（x）=ln（x+1）．
其中存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①③
• D、②③

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：函数的性质及应用,集合

分析：根据“和谐区间”的定义，我们要想说明函数存在“和谐区间”，我们只要举出一个符合定义的区间M即可，但要说明函数没有“和谐区间”，我们可以用反证明法来说明．由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=sin（

π

2

x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A=[0，1]为函数的一个“和谐区间”；同时当A=[-1，0]时也是函数的一个“和谐区间”，∴不满足唯一性．
②中，若f（x）=2x²-1，当A=[-1，1]时，f（x）∈[-1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[-1，1]一个．∴f（x）=2x²-1满足题意．
③中，由幂函数的性质我们易得，M=[0，1]为函数f（x）=|2^x-1|的“和谐区间”，由幂函数的图象可和，满足条件的集合只有A=[0，1]一个．∴f（x）=|2^x-1|满足题意．
④中，∵f（x）=ln（x+1）单调递增，且函数的定义域为（-1，+∞），
若存在“和谐区间”，则满足

ln(m+1)=m ln(n+1)=n

，即

em-1=m en-1=n

，
∴m，n是方程e^x-x-1=0的两个根，设f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，当x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，
且f（0）=e^x-x-1=0，故f（x）=2^x-2x+2=0有且只有一个解，
故f（x）=ln（x+1）不存在“可等域区间”．
故存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为：②③．
故选：D

点评：本题考查的知识点是函数的概念及其构造要求，在说明一个函数没有“和谐区间”时，利用函数的性质、图象结合反证法证明是解答本题的关键．