Question

8．设[x]表示不大于实数x的最大整数，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（lnx）^{2}-[lnx]-2，x＞0}\\{\sqrt{-x}+\frac{1}{2}x-a，x≤0}\end{array}\right.$，若f（x）有且仅有4个零点，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a＜0或a=$\frac{1}{2}$
• B． 0≤a＜$\frac{1}{2}$
• C． a＞$\frac{1}{2}$
• D． 不存在实数a

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，先讨论当x＞0时，函数零点的个数为3个，则条件等价为当x≤0时，函数f（x）的零点只有一个，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：当x＞0时，由f（x）=（lnx）²-[lnx]-2=0得（lnx）²=[lnx]+2≥0，
则[lnx]≥-2，
若[lnx]=-2，则-2≤lnx＜-1，此时方程等价为（lnx）²=[lnx]+2=-2+2=0，此时lnx=0，方程无解，不满足条件．
若[lnx]=-1，则-1≤lnx＜0，此时方程等价为（lnx）²=[lnx]+2=-1+2=1，此时lnx=-1，此时x=$\frac{1}{e}$，有一个解．
若[lnx]=0，则0≤lnx＜1，此时方程等价为（lnx）²=[lnx]+2=0+2=2，此时lnx=$±\sqrt{2}$，方程无解，不满足条件．
若[lnx]=1，则1≤lnx＜2，此时方程等价为（lnx）²=[lnx]+2=1+2=3，此时lnx=$\sqrt{3}$，x=${e}^{\sqrt{3}}$，有一个解．
若[lnx]=2，则2≤lnx＜3，此时方程等价为（lnx）²=[lnx]+2=2+2=4，此时lnx=2，x=e²，有一个解．
若[lnx]=3，则3≤lnx＜4，此时方程等价为（lnx）²=[lnx]+2=3+2=5，此时lnx=±$\sqrt{5}$，方程无解，不满足条件
．若[lnx]=4，则4≤lnx＜5，此时方程等价为（lnx）²=[lnx]+2=4+2=6，此时lnx=±$\sqrt{6}$，方程无解，不满足条件，
即当[lnx]≥4时，方程lnx）²=[lnx]+2无解，即当x＞0时，f（x）只有3个零点，
若f（x）有且仅有4个零点，
则等价为当x＜0时，若f（x）有且仅有1个零点
当x＜0时，f（x）=$\sqrt{-x}$+$\frac{1}{2}$x-a=0得$\sqrt{-x}$=-$\frac{1}{2}$x+a，
作出函数y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a的图象如图：
当y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a相切时，两个函数只有一个交点，此时平方得-x=$\frac{1}{4}$x²-ax+a²，
即$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a²=0，
由判别式△=（1-a）²-4×$\frac{1}{4}$a²=0得1-2a=0得a=$\frac{1}{2}$，
当直线经过原点时，函数y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a的图象有2个交点此时a=0，
当a＜0时，函数y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a的图象有1个交点，
综上实数a的取值范围是a＜0或a=$\frac{1}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查函数零点的应用，利用分段函数的表达式判断当x＞0时函数f（x）的零点个数为3个是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．