A. | a<0或a=$\frac{1}{2}$ | B. | 0≤a<$\frac{1}{2}$ | C. | a>$\frac{1}{2}$ | D. | 不存在实数a |
分析 根据分段函数的表达式,先讨论当x>0时,函数零点的个数为3个,则条件等价为当x≤0时,函数f(x)的零点只有一个,利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数,利用数形结合进行求解即可.
解答 解:当x>0时,由f(x)=(lnx)2-[lnx]-2=0得(lnx)2=[lnx]+2≥0,
则[lnx]≥-2,
若[lnx]=-2,则-2≤lnx<-1,此时方程等价为(lnx)2=[lnx]+2=-2+2=0,此时lnx=0,方程无解,不满足条件.
若[lnx]=-1,则-1≤lnx<0,此时方程等价为(lnx)2=[lnx]+2=-1+2=1,此时lnx=-1,此时x=$\frac{1}{e}$,有一个解.
若[lnx]=0,则0≤lnx<1,此时方程等价为(lnx)2=[lnx]+2=0+2=2,此时lnx=$±\sqrt{2}$,方程无解,不满足条件.
若[lnx]=1,则1≤lnx<2,此时方程等价为(lnx)2=[lnx]+2=1+2=3,此时lnx=$\sqrt{3}$,x=${e}^{\sqrt{3}}$,有一个解.
若[lnx]=2,则2≤lnx<3,此时方程等价为(lnx)2=[lnx]+2=2+2=4,此时lnx=2,x=e2,有一个解.
若[lnx]=3,则3≤lnx<4,此时方程等价为(lnx)2=[lnx]+2=3+2=5,此时lnx=±$\sqrt{5}$,方程无解,不满足条件
.若[lnx]=4,则4≤lnx<5,此时方程等价为(lnx)2=[lnx]+2=4+2=6,此时lnx=±$\sqrt{6}$,方程无解,不满足条件,
即当[lnx]≥4时,方程lnx)2=[lnx]+2无解,即当x>0时,f(x)只有3个零点,
若f(x)有且仅有4个零点,
则等价为当x<0时,若f(x)有且仅有1个零点
当x<0时,f(x)=$\sqrt{-x}$+$\frac{1}{2}$x-a=0得$\sqrt{-x}$=-$\frac{1}{2}$x+a,
作出函数y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a的图象如图:
当y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a相切时,两个函数只有一个交点,此时平方得-x=$\frac{1}{4}$x2-ax+a2,
即$\frac{1}{4}$x2+(1-a)x+a2=0,
由判别式△=(1-a)2-4×$\frac{1}{4}$a2=0得1-2a=0得a=$\frac{1}{2}$,
当直线经过原点时,函数y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a的图象有2个交点此时a=0,
当a<0时,函数y=$\sqrt{-x}$和y=-$\frac{1}{2}$x+a的图象有1个交点,
综上实数a的取值范围是a<0或a=$\frac{1}{2}$,
故选:A.
点评 本题主要考查函数零点的应用,利用分段函数的表达式判断当x>0时函数f(x)的零点个数为3个是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.
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A. | 两个圆 | B. | 一条直线和一条射线 | ||
C. | 两条直线 | D. | 一个圆和一条射线 |
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A. | 必要不充分条件 | B. | 充分不必要条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
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