Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，当x∈（﹣3，2）时，f（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，求c的取值范围；
（3）当x＞﹣1时，求y= 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得，方程ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的两个根为﹣3，2，

则 ，即 ，

解得a=﹣3，b=5，

∴f（x）=﹣3x2﹣3x+18

（2）解：由已知得，不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集为R，

因为△=52﹣4×（﹣3）×c≤0，

∴c≤﹣ ，即c的取值范围为（﹣∞，﹣ ]

（3）解：y= = =﹣3×（x+ ）=﹣3×[（x+1）+ ﹣1]，

因为x＞﹣1，（x+1）+ ≥2，

当且仅当x+1= ，即x=0时取等号，

∴当x=0时，ymax=﹣3

【解析】（1）由已知中函数f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab，当x∈（﹣3，2）时，f（x）＞0，当x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，可得f（x）=0的两根为﹣3，2，由韦达定理（根与系数的关系）我们易求出a，b的值，进而得到函数的解析式；（2）由（1）的结论，根据不等式﹣3x2+5x+c≤0的解集为R，可得△≤0，由此构造关于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范围；（3）根据（1）的结论，我们易求出y= 的解析式，结合基本不等式，分析出函数的值域，即可得到其最大值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质和解一元二次不等式的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边才能正确解答此题．