Question

已知a≥，f（x）=-a²x²+ax+c．
（1）如果对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立，证明c≤；
（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个不等实根x₁，x₂，且x₁≥0，x₂≥0，求实数c的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=-a²（x-）²+c+，
∵a≥，∴∈（0，1]，
∴x∈（0，1]时，[f（x）]_max=c+，-----------------------（2分）
∵f（x）≤1，则[f（x）]_max=c+≤1，即c≤，
∴对任意x∈[0，1]，总有f（x）≤1成立时，可得c≤．--------------------------（5分）
（2）∵a≥，∴＞0
又抛物线开口向下，f（x）=0的两根在[0，+∞）内，

所求实数c的取值范围为．---------------------（12分）
分析：（1）将原二次函数配方得f（x）=-a²（x-）²+c+，利用二次函数在闭区间上的最值求出它在（0，1]最大值，再由题意得[f（x）]_max=c+≤1，从而证得：c≤．
（2）根据抛物线开口向下，f（x）=0的两根在[0，+∞）内，得出关于a，c的不等关系，解之即可得出实数c的取值范围．
点评：本小题主要考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．