Question

已知椭圆，直线l与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点．
（1）证明：点O到直线AB的距离为定值；
（2）求|OA|•|OB|的最小值．

Answer 1

（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∵x₁²+4y₁²=4，∴|x₁|=|y₁|=
∴原点O到直线的距离为d=|x₁|=
②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消元可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵以AB为直径的圆D经过坐标原点，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴（1+k²）-km×+m²=0
∴5m²=4（k²+1）
∴原点O到直线的距离为d==
综上，点O到直线AB的距离为定值；
（2）由（1）可知，在直角△OAB中，点O到直线AB的距离|OH|=，设∠OAH=θ，则∠BOH=θ
∴|OA|=，|OB|=
∴|OA||OB|=
∴2θ=，即时，|OA||OB|取得最小值为
分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分类讨论：①当直线AB斜率不存在时，由椭圆的对称性，可求原点O到直线的距离；②当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论；
（2）利用三角函数表示出|OA|，|OB|，进而可求|OA||OB|的最小值．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．