Question

把长240cm，宽90cm的矩形铁皮的四角切去相等的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，角上切去的正方形的边长为多少时，盒子的容积最大．最大容积是多少？

Answer 1

分析：根据题意先设正方形边长为x，计算出铁盒体积的函数解析式，再利用导数研究此函数的单调性，进而求得此函数的最大值即可．

解答：解：设切去的正方形的边长为xcm，则折成的无盖的长方体 底面边长为（240-2x）cm和（90-2x）cm（2分），
高为xcm，于是盒子的容积（单位：cm³）V=（240-2x）（90-2x）x=4x³-660x²+21600x（4分）
又由x＞0，90-2x＞0，240-2x＞0，得0＜x＜45．V'=12x²-1320x+21600．（6 分）
令V'=0，得x²-110x+1800=0，（x-20）（x-90）=0，由0＜x＜45，解得x=20．（8分） 
当0＜x＜20时，V'＞0；20＜x＜45时，V'＜0，因此当x=20时，V有最大值（10分） 
最大容积V=200×50×20=200000（cm³）（12分）

点评：本题考查了导数在三次函数求最值问题时的实际应用，最大、最小值点通常存在于函数的导数等于0的点处，属于中档题．