Question

19．有以下四个命题，其中真命题的个数为（　　）
①△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
②若命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＜1；
③函数y=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2的单调递减区间是[$\frac{π}{3}$+2kπ，$\frac{5}{6}$π+2kπ]（k∈z）；
④若函数f（x）=x²+2x+2a与g（x）=|x-1|+|x+a|有相同的最小值，则$\int_1^a{f（x）}dx$=$\frac{28}{3}$．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据正弦定理，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；求出函数的单调区间，可判断③，求出a值，进而求出积分，可判断④

解答 解：①△ABC中，“A＞B”?“a＞b”?“2RsinA＞2RsinB”?“sinA＞sinB”，故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，即①是真命题；
②若命题p：?x∈R，sinx≤1，则￢p：?x∈R，sinx＞1，故②是假命题；
③由2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]（k∈z）得：x∈[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5}{6}$π+kπ]（k∈z）；
即函数y=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2的单调递减区间是[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{5}{6}$π+kπ]（k∈z），故③是假命题；
④若函数f（x）=x²+2x+2a的最小值为：2a-1，
函数g（x）=|x-1|+|x+a|的最小值为：|a+1|，
由2a-1=|a+1|得：a=2，
则$\int_1^a{f（x）}dx$=${∫}_{1}^{2}（{x}^{2}+2x+4）dx$=$（\frac{1}{3}×{2}^{3}+{2}^{2}+4×2）$-$（\frac{1}{3}×{1}^{3}+{1}^{2}+4×1）$=$\frac{28}{3}$，故④是真命题；
故真命题的个数为2个，
故选：B．

点评 本题以命题的真假判断为载体考查了正弦定理，全称命题的否定，正弦函数的单调性，函数的最值，积分等知识点，难度中档．