Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y²=8x的焦点为F．椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率e=

1

2

，并以F为一个焦点．
（1）求椭圆Σ的标准方程；
（2）设A₁A₂是椭圆Σ的长轴（A₁在A₂的左侧），P是抛物线C在第一象限的一点，过P作抛物线C的切线，若切线经过A₁，求证：tan∠A1PA2=

2

．

Answer 1

分析：（1）设椭圆Σ的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由抛物线方程可求得F坐标，从而可得c，根据离心率

c

a

=

1

2

可得a，再由a²=b²+c²可求得b；
（2）抛物线C在第一象限的部分可看作函数y=

8x

=2

2

•

x

（x＞0）的图象，不妨设P(

y02

8

，y0)（y₀＞0），切线PA₁的斜率kPA1=y/|x=x0=

4

y0

，利用点斜式可得PA₁的方程，再代入点A₁（-4，0）可求y0=4

2

，从而可判断△PA₁A₂的形状，通过解三角形可得到结论；

解答：（1）解：依题意，设椭圆Σ的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
2p=8，所以p=4，

p

2

=2，F（2，0），c=2，
又e=

c

a

=

1

2

，所以a=4，b²=a²-c²=12，
所以椭圆Σ的标准方程为

x2

16

+

y2

12

=1；
（2）证明：抛物线C在第一象限的部分可看作函数y=

8x

=2

2

•

x

（x＞0）的图象，
依题意，不妨设P(

y02

8

，y0)（y₀＞0），
因为y/=2

2

•

1

2 x

=

2 x

，
所以切线PA₁的斜率kPA1=y/|x=x0=

4

y0

，PA₁：y-y0=

4

y0

(x-

y02

8

)，
由（1）得A₁（-4，0），代入解得y0=4

2

，则P(4，4

2

)，A₂（4，0），∴PA₂⊥A₁A₂，
在Rt△PA₁A₂中，A₁A₂=8，PA2=4

2

，∠PA₂A₁是直角，所以tan∠A1PA2=

A1A2

PA2

=

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、抛物线椭圆的方程及导数的几何意义，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．