Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1+cos2θ，sin2θ），$\overrightarrow{b}$=（1-sin2θ，sinθ）（$\frac{π}{2}＜θ＜π$）
（Ⅰ）求|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的取值范围；
（Ⅱ）如果|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|=-$\frac{2}{5}$，求tanθ-$\frac{1}{tanθ}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知求出sin2θ的范围，进一步求出（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²的范围，则答案可求；
（Ⅱ）由|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|=-$\frac{2}{5}$，可得sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，得sin2$θ=-\frac{24}{25}$，把tanθ-$\frac{1}{tanθ}$化切为弦得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{π}{2}＜θ＜π$，∴π＜2θ＜2π，得sin2θ∈[-1，0），
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）²=（2，2sin2θ）²=4（1+sin²2θ）∈（4，8]，
因此|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|的取值范围是$（{2，2\sqrt{2}}]$；
（Ⅱ）∵$\frac{π}{2}＜θ＜π$，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴$|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|=\sqrt{（1+cos2θ）^{2}+si{n}^{2}2θ}$$-\sqrt{（1-cos2θ）^{2}+si{n}^{2}2θ}$
=$\sqrt{2（1+cos2θ）}-\sqrt{2（1-cos2θ）}$=-2cosθ-2sinθ=-$\frac{2}{5}$．
故sinθ+cosθ=$\frac{1}{5}$，得sin2$θ=-\frac{24}{25}$，
又$\frac{π}{2}＜θ＜π$，且sinθ+cosθ＞0．
故$cos2θ＜0⇒cos2θ=-\sqrt{1-{{（{-\frac{24}{25}}）}^2}}=-\frac{7}{25}$．
∴$tanθ-\frac{1}{tanθ}=\frac{sinθ}{cosθ}-\frac{cosθ}{sinθ}=\frac{{{{sin}^2}θ-{{cos}^2}θ}}{sinθcosθ}=-\frac{2cos2θ}{sin2θ}=\frac{{\frac{14}{25}}}{{-\frac{24}{25}}}=-\frac{7}{12}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，训练了利用同角三角函数基本关系式求三角函数的值，是中档题．