Question

如图三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=

3

AC=2

3

，PB=3

2

，且PB与平面ABC所成的角为45°，求二面角P-BC-A的正切值．

Answer 1

分析：过点P在平面PAB内作PD⊥AB于D，过D点在平面ABC内作DE⊥BC于E，连结PE，可得∠PBC即直线PB与平面ABC所成的角，结合已知可证得∠PED即二面角P-BC-A的平面角，解△ABC，Rt△DBE和Rt△PDE可得答案．

解答：解：过点P在平面PAB内作PD⊥AB于D，过D点在平面ABC内作DE⊥BC于E，连结PE---------------------------------------（2分）
∵平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB⊥平面ABC=AB
∴PD⊥平面ABC
∴∠PBC即直线PB与平面ABC所成的角，且PD⊥BC
∴∠PBC=45°---------------------------（4分）
∴在Rt△PDB中，由PB=3

2

得：PD=BD=3
又∵DE⊥BC，且PD⊥BC
∴BC⊥平面PDE
∴BC⊥PE
∴∠PED即二面角P-BC-A的平面角，------------------（8分）
又∵△ABC中，AC⊥CB，BC=

3

AC=2

3

知，∠CBA=30°
∴在Rt△DBE中：DE=

1

2

BD=

3

2

．
∴在Rt△PDE中：tan∠PDE=

PD

DE

=

3

3 2

=2，
即二面角P-BC-A的正切值为2．----------（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，其中证得∠PED即二面角P-BC-A的平面角，将求空间二面角问题转化为解三角形问题是解答的关键．