Question

某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为

2

3

．
（Ⅰ）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）  选手甲答3道题可进入决赛的概率为(

2

3

)3=

8

27

；  …1分
选手甲答4道题可进入决赛的概率为

C

23

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

=

8

27

；…3分
选手甲答5道题可进入决赛的概率为

C

24

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

=

16

81

； …5分
∴选手甲可进入决赛的概率p=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．        …7分
（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为3，4，5．则有p(ξ=3)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

，p(ξ=4)=

C

23

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

23

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

，p(ξ=5)=

C

24

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

24

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，…10分
因此，有

ξ	3	4	5
p	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3•

1

3

+4•

10

27

+5•

8

27

=

107

27

=3

26

27

．          …12分．