Question

省少年篮球队要从甲、乙两所体校选拔队员。现将这两所体校共20名学生的身高绘制成如下茎叶图（单位：cm）:若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”.

（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名队员，用表示乙校中选出的“高个子”人数，试求出的分布列和数学期望.

Answer 1

（Ⅰ）;
（Ⅱ）的分布列如下：

	0	1	2	3

的期望为：.

解析试题分析：（Ⅰ）根据茎叶图可知这20名学生中有“高个子”8人，“非高个子”12人，因为采用分层抽样的方法从中抽取5人，故抽取比例为.根据这个比例可以求“高个子”和“非高个子”所抽取的人数.然后用古典概型公式可求出所要求的概率.
（Ⅱ）据题意可知，这是一个超几何分布. 从乙校中选出“高个子”的人数的所有可能为0，1，2，3.
由超几何分布公式可得：

进而可得的分布列及期望.
试题解析：（Ⅰ）根据茎叶图可知这20名学生中有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法从中抽取5人，则应从“高个子”中抽取人，从“非高个子”中抽取人。
用表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件表示“没有一名‘高个子’被选中”，所以.
（Ⅱ）依题意知，从乙校中选出“高个子”的人数的所有可能值为0，1，2，3.

因此，的分布列如下：

	0	1	2	3

所以的期望为：.
考点：1、茎叶图；2、古典概型；3、超几何分布；4、离散型随机变量的分布列及数学期望.