Question

如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=，M为BC的中点．
（Ⅰ）证明：AM⊥PM；　　
（Ⅱ）求点D到平面AMP的距离．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取CD的中点E，连接PE、EM、EA
∵△PCD为正三角形
∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=
∵平面PCD⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
∵四边形ABCD是矩形
∴△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形
由勾股定理得EM=，AM=，AE=3
∴EM²+AM²=AE²，∴∠AME=90°
∴AM⊥PM
（Ⅱ）解：设D点到平面PAM的距离为d，连接DM，则V_P-ADM=V_D-PAM
∴
而
在Rt△PEM中，由勾股定理得PM=
∴
∴
∴，即点D到平面PAM的距离为
分析：（Ⅰ）取CD的中点E，连接PE、EM、EA，证明PE⊥平面ABCD，从而可得△ADE、△ECM、△ABM均为直角三角形，利用勾股定理可得结论；
（Ⅱ）利用V_P-ADM=V_D-PAM，可求D点到平面PAM的距离．
点评：本题考查线线垂直，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．